非圧縮性流体におけるベルヌーイの式

自分で理解できるテキストが無かったので作る．
ベースは

です．

流線と流管

定常的な流れ中の微少部分は一つの道筋を描く．これを流線(stream line)と呼ぶ．流線上の速度ベクトルは接線方向と同じであり，流線を横切るような流れは存在しない．
有限の流線群からなる小さい管を流管(stream tube)と呼ぶ．流管上にもこれを横切るような流れは存在せず，周壁は固体であるとみなしてもよい．

流管における物質収支

流管の流入側断面をa，流出側断面をbとする．このとき，微少時間 $\Delta t$ 中に流管へ流入する物質の体積 $V_a$ は，aにおける断面積を $s_a$ ，流速を $v_a$ として
$V_a=v_as_a\Delta t$
で表される．ここで流体の密度を $\rho$ とすれば，流入する物質の質量 $M_a$ は
$M_a=\rho v_as_a\Delta t$
で表される．同様にbにおける流出体積を $V_b$ ，流出質量を $M_b$ とし，
$V_b=v_bs_b\Delta t$
$M_b=\rho v_bs_b\Delta t$
と表現する．流体は非圧縮性と仮定し， $\rho=\mathrm{const.}$ とする．ここで質量保存の法則を用いると次式が得られる．
$v_as_a=v_bs_b$
これを非圧縮性流体における連続の式と呼ぶ．

流管におけるエネルギー収支

物質の移動に伴うエネルギーの流入，流出

aにおける高さを $h_a$ とすると， $M_a$ の物質が持つ力学的エネルギーの和 $E_va$ は次のように表現できる．
$E_{va}=M_a(v_a^2/2+h_ag)$
ここでgは重力加速度であり，右辺括弧内第1項は運動エネルギー，第2項は位置エネルギーに当たる．同様に $M_b$ の持つ力学的エネルギーの和は次式で表される．
$E_{vb}=M_b(v_b^2/2+h_bg)$

仕事の移動に伴うエネルギーの流出，流入

aにおける圧力 $P_a$ を $s_a$ 内のどこでも一定と仮定すると，仕事に伴い流入するエネルギーの量 $E_pa$ は次式で表される．
$E_{pa}=P_av_as_a\Delta t$
bで流出するエネルギーの量は同様に
$E_{pb}=P_bv_bs_b\Delta t$

ベルヌーイの式

流管へ流入する全力学的エネルギーは
$E_{va}+E_{pa}$
流管から流出する全力学的エネルギーは
$E_{vb}+E_{pb}$
で表すことができる．いま，定常流を仮定しているため，
$E_{va}+E_{pa}=E_{vb}+E_{pb}$
ただし力学的エネルギーは保存されると仮定している．これを展開すれば次式が得られる．
$\rho v_as_a\Delta t(v_a^2/2+h_ag)+P_av_as_a\Delta t=\rho v_bs_b\Delta t(v_b^2/2+h_bg)+P_bv_bs_b\Delta t$
ここで連続の式を用い，
$Q=v_as_a=v_bs_b$
とし， $Q\Delta t$ で展開された式を割る．
$\rho(v_a^2/2+h_ag)+P_a=\rho(v_b^2/2+h_bg)+P_b$
さらに， $\rho g=\gamma$ とし，両辺を割ると次式が得られる．
$\frac{v_a^2}{2g}+h_a+\frac{P_a}{\gamma}=\frac{v_b^2}{2g}+{h_b}+\frac{P_b}{\gamma}$
ここで $h_a=h_b$ もしくは位置エネルギーによる影響が著しく小さいとみなせるのであれば，
$\frac{\gamma v_a^2}{2g}+P_a=\frac{\gamma v_b^2}{2g}+P_b$
a，bは任意であるため，一般に
$\frac{\gamma v^2}{2g}+P=\mathrm{const.}$
この式を定常非圧縮性流体におけるベルヌーイの式(Bernoulli's Equation)と呼ぶ．左辺第1項を動圧，第2項を静圧，右辺を総圧(全圧)と呼ぶ．
ベルヌーイの式は次のことを表している．